Lors d\u2019une de ces r\u00e9unions, \u00e0 la pause th\u00e9, je dis \u00e0 \u00c9mile Borel : \u00ab\u00a0On vient de recevoir le calcul par ordinateur des 2000 d\u00e9cimales de \u03c0 et de e.\u00a0\u00bb J\u2019ajoute : \u00ab\u00a0Au fond, c\u2019est peut-\u00eatre un peu ridicule de chercher les d\u00e9cimales par ordinateur. De toute fa\u00e7on, elles sont distribu\u00e9es d\u2019une mani\u00e8re tellement irr\u00e9guli\u00e8re, au moins en apparence, comment dominer cette irr\u00e9gularit\u00e9 par un examen de l\u2019ordre de succession, ce n\u2019est pas possible.\u00a0\u00bb Je ne suis pas s\u00fbr de ne pas m\u2019\u00eatre tromp\u00e9 \u00e0 ce moment-l\u00e0. \u00ab\u00a0On ne trouvera rien avec ces 2000 d\u00e9cimales de e et de \u03c0. \u00c0 quoi cela peut servir ?\u00a0\u00bb Il me r\u00e9pond : \u00ab\u00a0Mais pas du tout ! Vous n\u2019y \u00eates pas du tout ! Donnez-les moi vite !\u00a0\u00bb Je les lui ai donn\u00e9es imm\u00e9diatement et il les a emport\u00e9es avec lui.<\/p>\n
Le jour de la r\u00e9union suivante, \u00e0 la pause th\u00e9, il me dit : \u00ab\u00a0J\u2019avais bien raison et je vous remercie de m\u2019avoir donn\u00e9 ces documents. J\u2019en ai fait une communication \u00e0 l\u2019Acad\u00e9mie des sciences<\/a> : la distribution des d\u00e9cimales n\u2019est pas la m\u00eame. La distribution des d\u00e9cimales est beaucoup plus proche de la probabilit\u00e9 du d\u00e9ci-normal dans \u03c0 que dans e<\/em> o\u00f9 il y a un peu plus d\u2019\u00e9cart par rapport au dixi\u00e8me.\u00a0\u00bb Je n\u2019ai pas le droit de penser autre chose que ce que pensait \u00c9mile Borel, mais au fond de moi, j\u2019avais une r\u00e9ticence.<\/p>\n J\u2019en parle \u00e0 Fr\u00e9chet, je lui raconte ce que pense Borel et il me dit : \u00ab\u00a0Mais c\u2019est idiot\u00a0! C\u2019est parce que vous aviez les 2.000 premi\u00e8res, si vous en aviez eu un milliard, \u00e7a aurait peut-\u00eatre chang\u00e9 dans l\u2019autre sens, et un milliard de milliards, encore dans l\u2019autre sens, etc. Vous n\u2019en savez rien de cette mani\u00e8re-l\u00e0.\u00a0\u00bb On n\u2019a pas r\u00e9solu le probl\u00e8me de qui a raison de Borel ou de Fr\u00e9chet \u2013 je me sens de c\u0153ur du c\u00f4t\u00e9 de Fr\u00e9chet. C\u2019est mon instinct qui me dit cela, bien entendu. J\u2019ai repens\u00e9 \u00e0 cette histoire assez souvent. Au fond, j\u2019ai pens\u00e9 toute ma vie au nombre e<\/em> et au nombre \u03c0. Pas tellement \u00e0 leur expression en d\u00e9cimales.<\/p>\n Avant la guerre, j\u2019avais en pr\u00e9paration un autre livre qui ne para\u00eetra jamais sur le nombre \u03c0, un bon gros livre plein de merveilles sur \u03c0<\/a> : toutes les mani\u00e8res de l\u2019aborder comme une cruche qui aurait des tas d\u2019anses.<\/p>\n On peut le saisir \u00e9videmment par les cercles et leurs diam\u00e8tres, mais on peut le prendre aussi par l\u2019analyse, par des nombres entiers, par des probabilit\u00e9s \u2013 vous connaissez la probabilit\u00e9 pour que deux nombres entiers soient premiers entre eux\u00a0? On pourrait faire \u00e7a dans un music-hall, \u00e7a aurait un effet tr\u00e8s Uri Geller : vous demandez \u00e0 deux personnes qui ne sont pas des comp\u00e8res de vous dire deux nombres entiers, aussi grands, aussi petits qu\u2019ils veulent, puis \u00e0 deux autres personnes, etc. Pour que \u00e7a fasse un effet impressionnant, il faudrait avoir une centaine de couples et des gens qui ne sont pas des comp\u00e8res. Vous aurez donc cent couples de nombres. Combien seront premiers entre eux ? et combien ne le seront pas ? C\u2019est 6\/\u03c02<\/sup>. Remarquez, c\u2019est pratiquement 0,6. Donc, on peut introduire \u03c0 par les probabilit\u00e9s.<\/p>\n On peut l\u2019introduire par l\u2019aiguille de Buffon : vous laissez tomber une aiguille par terre, sur les raies du plancher, et vous trouverez un grand nombre de fois le nombre \u03c0 si vous prenez une aiguille \u00e9gale \u00e0 la moiti\u00e9 de la distance de deux raies \u2013 en fait, vous introduisez des cercles id\u00e9aux sur le parquet.<\/p>\n C\u2019est une chose qui m\u2019avait toujours int\u00e9ress\u00e9 et je voulais faire ce livre que je ne ferai pas. J\u2019ai un ami qui me le reproche de temps en temps, chaque fois qu\u2019il vient en France, c\u2019est Bovet, le prix Nobel de physiologie de m\u00e9decine. C\u2019est un grand ami. Il est suisse, voulait \u00eatre naturalis\u00e9 Fran\u00e7ais mais on lui a refus\u00e9 son dossier de naturalisation parce qu\u2019on le trouvait trop \u00e0 gauche. Il est all\u00e9 en Italie et l\u00e0 on a \u00e9t\u00e9 tr\u00e8s heureux de l\u2019accueillir et il a \u00e9t\u00e9 prix Nobel.<\/p>\n J.B. Pourquoi un physiologue s\u2019int\u00e9resse-t-il au nombre \u03c0 ?<\/p>\n F.L.L. Bovet a une tr\u00e8s bonne culture et une culture math\u00e9matique qui n\u2019est pas n\u00e9gligeable. Et il s\u2019y int\u00e9resse. Heureusement, il n\u2019y a pas que des gens qui sont sp\u00e9cialis\u00e9s.<\/p>\n Je reviens au nombre \u03c0 et \u00e0 ses d\u00e9cimales qui ne sont qu\u2019un aspect de l\u2019int\u00e9r\u00eat que je porte \u00e0 ce nombre, et au nombre e<\/em>. Ils font d\u2019ailleurs partie de ma collection de nombres remarquables. Ma collection est unique au monde. Peu de collectionneurs n\u2019ont pas de rivaux\u00a0!<\/p>\n Ce sont deux nombres transcendants. Cela veut dire qu\u2019ils ne sont pas racines d\u2019\u00e9quations alg\u00e9briques. C\u2019est plus myst\u00e9rieux que les \u00e9quations comme ax2<\/sup>+ bx + c, qui ont deux racines. Vous pouvez prendre du trente-cinqui\u00e8me degr\u00e9, du milli\u00e8me degr\u00e9, peu importe, \u00e7a a toujours un certain nombre de racines, autrement dit de solutions, qu\u2019on appelle des nombres alg\u00e9briques si les coefficients sont entiers. Mais il y a des nombres qui ne peuvent \u00eatre solution d\u2019aucune \u00e9quation alg\u00e9brique, quelle qu\u2019elle soit, ce sont les nombres qu\u2019on appelle les nombres transcendants. \u03c0 est un nombre transcendant et e<\/em> aussi. Leur transcendance a \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9e il y a un si\u00e8cle, j\u2019ai d\u2019ailleurs f\u00eat\u00e9 la d\u00e9couverte de la transcendance de e<\/em> en 1973 car elle a \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9e en 1873 \u2013 je ne crois pas que je f\u00eaterai l\u2019anniversaire<\/a> de la d\u00e9couverte de la transcendance de \u03c0 en 1982.<\/p>\n __________________<\/p>\n communication \u00e0 l’Acad\u00e9mie des sciences<\/a><\/p>\n \nIl y a en effet sur ce sujet une note de Borel aux Comptes rendus de l’Acad\u00e9mie des sciences, elle a \u00e9t\u00e9 communiqu\u00e9e le 28 mai 1951 (et elle est parue dans les Comptes rendus, tome 232, p. 1973-74). Elle s\u2019appelle Les d\u00e9cimales de e et de \u03c0<\/em>. Elle fait \u00e9tat de 2000 d\u00e9cimales de \u03c0 et de 2500 d\u00e9cimales de e<\/em> calcul\u00e9es par des ordinateurs (et de travaux de von Neumann). Comme tous les lecteurs s’en seront aper\u00e7us, il y a une petite erreur \u00e0 la fin de la note. MA<\/p>\n