Apr\u00e8s la guerre, je me suis dit : au lieu de chercher \u00e0 \u00e9tudier comment se succ\u00e8dent les d\u00e9cimales de nombres transcendants, on pourrait peut-\u00eatre chercher \u00e0 \u00e9tudier comment se succ\u00e8dent les d\u00e9cimales de nombres moins myst\u00e9rieux moins compliqu\u00e9s que sont les nombres alg\u00e9briques. J\u2019y avais d\u00e9j\u00e0 pens\u00e9 un peu avant la guerre et \u00e0 Dora, mais d\u2019une fa\u00e7on qui manquait de solidit\u00e9. Je ne parle pas des nombres alg\u00e9briques rationnels, parce que leurs d\u00e9cimales se succ\u00e8dent par p\u00e9riode qui recommence perp\u00e9tuellement, le probl\u00e8me est r\u00e9solu, mais pour les nombres alg\u00e9briques irrationnels, \u00e7a me paraissait int\u00e9ressant.<\/p>\n
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Je m\u2019\u00e9tais dit qu\u2019il faudrait peut-\u00eatre \u00e9tudier les d\u00e9cimales d\u2019un nombre dont on ne sait pas s\u2019il est transcendant ou alg\u00e9brique ou m\u00eame rationnel, c\u2019est la constante d\u2019Euler<\/a> qu\u2019on appelle le nombre c<\/em>. On pourrait peut-\u00eatre essayer de prendre au moins un million de d\u00e9cimales : s\u2019il \u00e9tait rationnel, on pourrait s\u2019en apercevoir par la statistique \u2013 sauf s\u2019il a une p\u00e9riode sup\u00e9rieure \u00e0 un million. On n\u2019en sait rien pour c<\/em> . Les math\u00e9maticiens pensent en g\u00e9n\u00e9ral qu\u2019il est non seulement alg\u00e9brique, mais transcendant. Mais c\u2019est un sentiment qu\u2019ils ont et un sentiment ne vaut pas cher dans ce domaine. C\u2019est Chevalley qui a dit la chose qui m\u2019a le plus \u00e9clair\u00e9 sur la nature du nombre c<\/em> : c\u2019est que la difficult\u00e9 qu\u2019on a \u00e0 dominer la question, \u00e0 p\u00e9n\u00e9trer dedans, c\u2019est qu\u2019il converge tr\u00e8s lentement.<\/p>\n Cette lenteur de convergence est presque aussi emb\u00eatante que les s\u00e9ries divergentes de Borel. Ce n\u2019est pas divergent, mais on ne peut pas esp\u00e9rer aller \u00e0 la lenteur d\u2019un escargot et en possibilit\u00e9 d\u2019utilisation, mais je n\u2019en \u00e9tais pas tr\u00e8s s\u00fbr, et, m\u00eame maintenant, je dirais que ce n\u2019est pas tr\u00e8s utile.<\/p>\n \n \u00ab\u00a0Pourquoi n\u2019essayeriez-vous pas un nombre certainement irrationnel mais certainement non transcendant\u00a0? Le plus simple qu\u2019on pourrait prendre serait racine de 2<\/a>.\u00bb Il a not\u00e9 la chose et a fait faire aux frais d\u2019IBM les 100.000 premi\u00e8res d\u00e9cimales de racine de 2. \u00c7a fait une petite brochure que j\u2019ai chez moi. Ensuite, on a constitu\u00e9 une petite commission dans laquelle il y avait et des th\u00e9oriciens des nombres et des probabilistes et statisticiens. Comme th\u00e9oricien des nombres, on avait \u2013 on ne pouvait pas mieux \u2013 Pisot, comme statisticien, il y avait Morlat, aussi un tr\u00e8s grand, Guillebeau, et les deux programmeurs qui avaient trouv\u00e9 l\u2019algorithme pour calculer racine de 2. Ils m\u2019ont appris quelque chose : si j\u2019avais eu \u00e0 faire le programme, j\u2019aurais extrait la racine carr\u00e9e de 2 comme on apprend \u00e0 l\u2019\u00e9cole. Ils ont invent\u00e9 une formule qui co\u00fbte moins cher \u2013 c\u2019est ce qu\u2019ils visaient \u2013 et qui est astucieuse. La commission s\u2019est mise au travail et \u00e7a m\u2019a beaucoup appris. Je me suis rendu compte que je manquais d\u2019id\u00e9es pour \u00e9tudier cette question.<\/p>\n \n Qu\u2019est-ce que j\u2019aurais fait ? J\u2019aurais compt\u00e9 la proportion des d\u00e9cimales. \u00c9videmment, c\u2019est d\u00e9ci-normal, chaque d\u00e9cimale appara\u00eet exactement, \u00e0 l\u2019\u00e9cart normal pr\u00e8s. \u00c0 part \u00e7a, j\u2019aurais pris des couples, ou des triples, etc. Mais eux ont eu des tas d\u2019id\u00e9es, des \u00e9carts entre d\u2019autres, etc. Finalement, apr\u00e8s avoir assez bien travaill\u00e9, avec ordinateur, on s\u2019est aper\u00e7u qu\u2019on ne pouvait rien trouver. Aucune r\u00e9gularit\u00e9 apparente, tout se pr\u00e9sentait de la mani\u00e8re la plus myst\u00e9rieuse et la plus irr\u00e9guli\u00e8re possible. Un d\u00e9fi aux math\u00e9matiques \u2013 l\u2019id\u00e9al pour le chercheur. De sorte que le probl\u00e8me n\u2019est pas r\u00e9solu.<\/p>\n \n Par la suite, Pisot m\u2019a dit : \u00ab\u00a0Vous avez eu tort de prendre racine de 2, vous auriez d\u00fb prendre racine de 5.\u00a0\u00bb Je n\u2019y avais pas pens\u00e9. J\u2019avais pris le plus petit nombre entier, mais 5<\/a> \u2013 c\u2019est d\u2019ailleurs ce qui fait la vertu du nombre d\u2019or \u2013 est le plus difficile \u00e0 approcher dans les nombres alg\u00e9briques. C\u2019est, d\u2019une certaine mani\u00e8re, le plus loin d\u2019un nombre entier, tandis que les transcendants peuvent l\u2019approcher, coller de pr\u00e8s. Un nombre transcendant est presque un nombre entier. Une autre id\u00e9e m\u2019avait manqu\u00e9.<\/p>\n \n Ce sont mes deux erreurs : on aurait pu le faire en binaire au lieu de le faire en d\u00e9cimal. Ce n\u2019est qu\u2019apr\u00e8s que je me suis rendu compte que, puisque ces 100.000 d\u00e9cimales de racine de 2 se comportent exactement comme des nombres tir\u00e9s au hasard \u2013 et de m\u00eame pour les autres nombres alg\u00e9briques, ce n\u2019est pas la peine de le v\u00e9rifier \u2013, ils pourraient \u00eatre pris comme des nombres au hasard, et on en a besoin dans l\u2019industrie.<\/p>\n \n Quand on fait de la m\u00e9canique de pr\u00e9cision, quand on fait des roulements \u00e0 billes, quand on fait le projet d\u2019un barrage, on a besoin de nombres au hasard. Il y a donc une utilisation possible. J\u2019ai demand\u00e9 qu\u2019on fasse une \u00e9tude et on l\u2019a faite, du prix d\u2019une d\u00e9cimale de racine de 2, de racine de 5 ou de racine de 3 etc., compar\u00e9 au prix d\u2019une d\u00e9cimale de nombres au hasard. \u00c0 partir du moment o\u00f9 les ordinateurs permettent d\u2019avoir des d\u00e9cimales moins ch\u00e8res que par les proc\u00e9d\u00e9s de hasard, \u00e7a a des applications immenses, dans tous les domaines.<\/p>\n \n __________________<\/p>\n la constante d’Euler<\/a><\/p>\n La constante d\u2019Euler, c\u2019est la limite de racine de 2<\/a><\/p>\n Sur racine de 2, signalons
\n(1+1\/2+1\/3+\u2026+1\/n)-log(n)
\nquand n tend vers l\u2019infini. On tend vers cette limite tr\u00e8s lentement (comme dit FLL que disait Chevalley).
\nLa constante vaut \u00e0 peu pr\u00e8s 0,577, mais on ne sait m\u00eame pas (on ne sait toujours pas) si c\u2019est un nombre irrationnel \u2014 ce que l\u2019on conjecture \u2014 et a fortiori si c\u2019est un nombre transcendant. MA<\/p>\n
\n– l’autoportrait de racine de 2, que l’on trouve dans C’est un m\u00e9tier d’homme<\/em>, livre collectif de l’Oulipo, paru en 2010 chez Mille-et-une-nuits, mais aussi ici<\/a>,
\n– Rationnel mon<\/em> Q<\/strong>, de Ludmila Duch\u00eane et Agn\u00e8s Leblanc, paru en 2010 aux \u00e9ditions Hermann,
\net le fait qu’on ne sait toujours pas grand chose sur la r\u00e9partition des d\u00e9cimales de racine de 2. MA<\/p>\n