{"id":721,"date":"2010-10-07T16:50:12","date_gmt":"2010-10-07T16:50:12","guid":{"rendered":"http:\/\/blogs.oulipo.net\/fll\/?p=721"},"modified":"2010-12-08T19:20:25","modified_gmt":"2010-12-08T19:20:25","slug":"139-la-geometrie-du-triangle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.oulipo.net\/fll\/2010\/10\/07\/139-la-geometrie-du-triangle\/","title":{"rendered":"139. La g\u00e9om\u00e9trie du triangle"},"content":{"rendered":"

La g\u00e9om\u00e9trie du triangle [ce titre se trouve dans le manuscrit]<\/p>\n

J\u2019ai trouv\u00e9 une quantit\u00e9 extraordinaire de propri\u00e9t\u00e9s et de th\u00e9or\u00e8mes. Je me suis int\u00e9ress\u00e9 \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie du triangle depuis pratiquement le coll\u00e8ge. C\u2019est d\u00fb \u00e0 deux causes : j\u2019ai une mentalit\u00e9 \u00e0 m\u2019int\u00e9resser \u00e0 ce genre de choses d\u2019abord, ensuite, c\u2019est une chose facile. Tout est facile en math\u00e9matiques \u00e0 un certain niveau et tout devient difficile. C\u2019est pourquoi il y avait tellement de fabricants de th\u00e9or\u00e8mes du triangle, c\u2019est que ce n\u2019\u00e9tait pas difficile. Un peu comme en th\u00e9orie des nombres. Et en g\u00e9om\u00e9trie du triangle, il peut se produire les m\u00eames difficult\u00e9s qu\u2019en th\u00e9orie des nombres.<\/p>\n

Je m\u2019int\u00e9ressais surtout aux c\u00e9viennes<\/a> dans le triangle \u2013 pas uniquement, bien s\u00fbr. J\u2019avais not\u00e9 dans un cahier une tr\u00e8s grande quantit\u00e9 de r\u00e9sultats, pas tr\u00e8s int\u00e9ressants. Je me suis amus\u00e9 \u00e0 calculer par exemple les hauteurs en fonction des bissectrices, les bissectrices en fonction des m\u00e9dianes, etc., mais il y avait un point sur lequel je m\u2019\u00e9tais pench\u00e9 et qui n\u2019a pas attir\u00e9 l\u2019attention d\u2019autres math\u00e9maticiens, c\u2019est ce qu\u2019on pourrait appeler les c\u00e9viennes h\u00e9t\u00e9rog\u00e8nes concourentes. C\u2019est-\u00e0-dire : dans un triangle, est-il possible qu\u2019une hauteur, la hauteur du c\u00f4t\u00e9 A, la bissectrice du c\u00f4t\u00e9 B et la m\u00e9diane du c\u00f4t\u00e9 C concourent ? C\u2019est le genre d\u2019id\u00e9e biscornue<\/a> qui m\u2019est assez propre et qui devient tout de suite terriblement difficile.<\/p>\n

J.M.L.L. Ce n\u2019est vrai que pour les triangles particuliers.<\/p>\n

Marie-Ad\u00e8le: vous voulez boire quelque chose?<\/p>\n

F.L.L. Exactement. Autrement dit, j\u2019aurais voulu d\u00e9finir de tels triangles, c\u2019est-\u00e0-dire quels sont les angles A,B,C, ou quels sont les c\u00f4t\u00e9s par rapport aux autres c\u00f4t\u00e9s, etc. J\u2019y ai repens\u00e9 de nouveau, d\u2019une part \u00e0 Fresnes et d\u2019autre part \u00e0 Dora, mais \u00e0 Dora, ma pens\u00e9e \u00e9tait trop rel\u00e2ch\u00e9e pour pouvoir penser \u00e0 quelque chose de compliqu\u00e9. On peut montrer comment un tel triangle serait possible: tu te donnes un segment de droite, avec deux extr\u00e9mit\u00e9s A et B et tu te donnes une direction et la hauteur : tu as dans ce cas la bissectrice, la hauteur, tu n\u2019as qu\u2019\u00e0 joindre le milieu, \u00e7a te donne le troisi\u00e8me sommet. (un croquis s\u2019impose)
\n\"\"<\/a><\/p>\n

__________________<\/p>\n

c\u00e9viennes<\/a><\/p>\n

Les \u201cc\u00e9viennes\u201d (du nom du math\u00e9maticien (italien, XVIIIe si\u00e8cle) Ceva, ou plus exactement de son th\u00e9or\u00e8me) sont des droites issues des sommets d\u2019un triangle.
\nOn dit que ce sont des c\u00e9viennes si elles sont concourantes. Par exemple, les trois hauteurs sont concourantes, les m\u00e9dianes aussi et tout autant les bissectrices. MA<\/p>\n

id\u00e9e biscornue<\/a><\/p>\n

Ce que propose FLL est le disparate absolu: construire un triangle dont une hauteur, une bissectrice et une m\u00e9diane soient concourantes. La figure montre la construction telle que d\u00e9crite par FLL: 1. le segment AB et la bissectrice en B (rouge), 2. le m\u00eames avec la droite noire qui sera BC, 3. la hauteur issue de A (rouge), qui rencontre la bissectrice en H, 4. la droite (rouge) joignant le milieu M de BC \u00e0 H, qui, puisque ces trois \u00ab\u00a0c\u00e9viennes disparates\u00a0\u00bb sont concourantes, est la m\u00e9diane et d\u00e9termine le point C. MA<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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